Lo stato Italiano prevede questa possibilità, ma non so se ti concedono il secondo passaporto per un viaggio occasionale o piuttosto vogliono che tu debba avere frequenti e motivati spostamenti tra Israele e i paesi arabi. http://www.poliziadistato.it/articolo/21601/
In ogni caso, puoi andare in Israele chiedendo che non ti appongano il timbro sul passaporto, normalmente lo concedono. Israele non fa problemi all'ingresso se si hanno timbri di paesi arabi. O meglio non negano l'ingresso, ma ti terranno un paio d'orette - quando esci dal paese - chiedendoti i motivi dei tuoi spostamenti. Tieni tutta la documentazione in tuo possesso per dimostrarli.
Passare tra i due paesi non si può, le frontiere non sono aperte; puoi passare attraverso la Giordania ma tieni conto che, anche se Israele non ti mette il timbro, i giordani lo metteranno al valico di confine. Alle autorità libanesi basta questo per avere evidenza del tuo soggiorno nello stato ebraico, e ti vieteranno l'ingresso. E' meglio qundi iniziare dal Libano o tornare in Italia e ripartire poi.
EDIT No non si insospettisce; le rogne ci sono quando ESCI da Israele, se hai timbri arabi sul passaporto (ma dipende da 1000 cose, come ti presenti, i motivi dei tui viaggi ecc) ti fanno un sacco di domande non tanto sul tuo viaggio nel paese arabo ma sul tuo soggiorno in Israele; ti chiederanno dove sei stato, con chi, come e quando. In pratica quello che loro combattono è il "terrorismo" inteso come scambio di informazioni, quindi se tu vai in Libano poi nei in Israele o nei territori palestinesi diventano sospettosi. Che tu chieda di non appporre il timbro all'ingresso non significa nulla, in genere lo concedono, ma devi essere molto chiaro e accertati che l'ufficiale abbia capito, altrimenti magari distrattamente te lo timbra